Конкурс по математике - "Кенгуру" - 2003 - Сеньор - Литва

---

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

В прямоугольнике ABCD точки P, Q, R и S являются серединами сторон АВ, ВС, С D и AD, соответственно, а T — середина отрезка R S. Какую часть от площади прямоугольника ABCD составляет площадь треугольника PQT?




Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Чему равна площадь, ограниченная ниткой?


Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Саша вычислил объем шара, но по ошибке вместо радиуса шара взял значение диаметра. Что он теперь должен сделать с результатом, чтобы получить верный ответ?

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Для которого набора данных существует треугольник ABC?

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Среднее число принятых в школу учеников за 4 года 1998-2001 было 325. Среднее число принятых в школу учеников за 5 лет 1998-2002 на 20% больше. Сколько учеников было принято в школу в 2002 году?

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Найдите все значения параметра т, при которых кривые x² + y² = 1 и y = x² + m имеют единственную общую точку.

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Изображенная на рисунке доска составлена из 44 клеток 1x1. Сколькими способами можно накрыть все 40 ее белых клеток двадцатью прямоугольными косточками 1 х 2? (Доску вращать нельзя. Два способа считаются различными, если хотя бы одна косточка положена по-другому.)



Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

По правилу, схематически записанному ниже слева, заполняем таблицу, в каждую ее клетку вписывая целое число, большее 1. Которое из приводимых ниже 5 чисел не моэ/сет оказаться в закрашенной клетке?



Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Площадь треугольника ABC равнаЗО. Расстояния от внутренней точки D до сторон треугольника равны е, / и g (см. рисунок). Какое значение принимает выражение 5е + 12f+ 13g?



Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Федя сложил прямоугольный параллелепипед из четырех фигурок, раскрашенных по-разному, причем каждая фигурка состоит из четырех кубиков. Потом одну из фигурок он убрал (см. рисунок). Которую?



Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Через реку летели 2 белые и 8 серых чаек. Вдруг они в случайном порядке сели на берег, образуя прямую линию. Какова вероятность, что обе белые чайки сидят рядом?

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Найдите значение выражения




Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Длины двух сторон и высоты, опущенной на третью сторону остроугольного треугольника, равны 12, 13, 15 (не обязательно в данном порядке). Определите площадь треугольника.

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Последовательность образована из седьмых степеней всех натуральных чисел: 1⁷, 2⁷, 3⁷, .... Сколько членов этой последовательности заключено между числами 5²¹ ir 2⁴⁹?

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Найдите такое наибольшее двузначное число п, чтобы 10ⁿ + 1 было кратно числу 101.

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Сторона большего из изображенных квадратов равна 2, а прилегающего к нему меньшего — равна 1. Чему равна площадь закрашеной области?



Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Сколько функций из пяти данных

удовлетворяют уравнению f(x² + y²) = f²(x) + f²(у)?


Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Дано, что a⁴ + x = 4. Найдите a⁶ + x.

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Около правильного треугольника описана окружность, около окружности описан квадрат, около квадрата описана окружность, около окружности описан правильный пятиугольникам, рисунок). Продолжим процедуру: около пятиугольника опишем окружность, около окружности опишем правильный шестиугольник и т.д. Остановимся построив правильный 16-угольник. Насколько частей разделена внутренность этого 16-угольника?



Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Точка Р(х; у) принадлежит окружности радиуса г с центром в точке М(2; 2). Пусть х, у и г являются натуральными числами, причем у = r > 2. Каково наименьшее возможное значение х?

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Числа А, В, А - В, А + В — натуральные простые. Тогда их сумма

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Управляющий магазина получил задание установить цену на кофточки. Отдел изучения рынка предоставляет ему следующую информацию. Если цена кофточки будет 75 литов, то будет продано 100 кофточек. Эту цену можно повышать или понижать несколько раз по 5 литов, но при увеличении цены на 5 литов количество проданных кофточек будет соответственно понижаться на 20 штук, а при снижении цены на 5 литов количество проданных кофточек будет увеличиваться соответственно по 20 штук. Магазин получает кофточки по 30 литов. Какая продажная цена кофточки (в литах) принесет наибольшую прибыль?

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Последовательность a₀, a₁, a₂ , ... , определена следующим образом:

Тогда a₂₀₀₃ равно:


Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

В прямоугольнике ABCD (см. рисунок) АВ = 16, ВС = 12. Пусть £ — такая точка, что , CE = 15. Отрезки АЕ и С D пересекаются в точке F. Чему равна площадь треугольника ACF?



Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Даны 6 точек, являющиеся вершинами правильного шестиугольника, и все отрезки, соединяющие каждые две из них. Два отрезка назовем дальними, если они не имеют ни одной общей точки. Сколько имеется пар дальних отрезков?

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Пусть f — такой многочлен, что f(x² + 1) =x⁴ + 4x². Чему равно f(x² - 1).

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija

---

Если на конце ребра куба нарисуем стрелку, получим вектор, а если стрелку нарисуем на другом конце — получим противоположный вектор. Если на каждом ребре куба нарисуем по стрелке, то получим 12 векторов, а сложив их — определенную сумму-вектор. Сколько различных значений суммы можно так получить?

Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams. Mokytojo registracija, mokinio registracija